[2017년 가좌고]

--

[2학년 1학기 중간 미적분1]

수렴하는 수열만을 보기에서 있는 대로 고른 것은? [3.6점]

②

ㄱ. [eqn: 1,```-2,```4,```-8,```cdots]

ㄴ. [eqn: 1-1,```1-{1over3},```1-{1over9},```1-{1over27},```cdots]

ㄷ. [eqn: 1+ 1over1 ,```2 + 1over2 ,```3+ 1over3 ,```4+ 1over4 ,```cdots]

① ㄱ	② ㄴ	③ ㄷ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

수열 [eqn: left{a_n right}]이 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여 부등식
[eqn: 2n+1<na_n < 2n+3]
를 만족시킬 때, [eqn: lim_n->inf a_n]의 값은? [3.6점]

②

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 5]	⑤ [eqn: 7]

함수 [eqn: f(x)=[2x]-x]에 대하여 [eqn: lim_x->1- f(x) =a], [eqn: lim _{x -> 1+} {} f(x)=b]라 할 때, [eqn: a+b]의 값은? (단, [eqn: [x]]는 [eqn: x]보다 크지 않은 최대의 정수이다.) [3.7점]

②

① [eqn: 0]	② [eqn: 1]	③ [eqn: 3over2]

④ [eqn: 2]	⑤ [eqn: 5over2]

두 상수 [eqn: a], [eqn: b]에 대하여 [eqn: lim_x->1 {x^2 +ax +b} over {x-1}]의 값이 존재할 때, [eqn: a+b]의 값은? [3.7점]

③

① [eqn: -2]	② [eqn: - 3over2]	③ [eqn: -1]

④ [eqn: 0]	⑤ [eqn: 1]

함수 [eqn: f(x) = left{ {x^2 +ax -10} over {x-1}``(x !=1)#``````````````````````b```````````````````````(x =1)]가 실수 전체의 집합에서 연속일 때, 두 상수 [eqn: a], [eqn: b]의 합 [eqn: a+b]의 값은? [3.8점]

⑤

① [eqn: 8]	② [eqn: 11]	③ [eqn: 14]

④ [eqn: 17]	⑤ [eqn: 20]

[eqn: lim_n->inf {4(1^3 +2^3 +3^3 + `cdots`+n^3 )} over {n(1^2 +2^2 +3^2 +`cdots`+n^2 )}]의 값은? [3.8점]

①

① [eqn: 3]	② [eqn: 7over2]	③ [eqn: 4]

④ [eqn: 9over2]	⑤ [eqn: 5]

자연수 [eqn: n]에 대하여 [eqn: x]에 대한 다항식 [eqn: 3x^n-1 +x]를 일차식 [eqn: x-2]로 나눈 나머지를 [eqn: a_n]이라고 할 때, [eqn: lim_n->inf a_n over{3^n +1}]의 값은? [3.9점]

①

① [eqn: 0]	② [eqn: 1]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 6]	⑤ [eqn: 8]

수열 [eqn: left{a_n right}]에 대하여 [eqn: sum_n=1^inf left( a_n over n +3 right) =5]일 때, [eqn: lim_n->inf a_n over{3n+1}]의 값은? [4.0점]

③

① [eqn: -4]	② [eqn: -2]	③ [eqn: -1]

④ [eqn: 1]	⑤ [eqn: 3]

함수 [eqn: f(x) = cases{ x^3 +ax& ```(x<1) # bx^2 +x+1 &```(x ge 1) }]이 [eqn: x=1]에서 미분가능할 때, [eqn: a+b]의 값은? (단, [eqn: a], [eqn: b]는 상수이다.) [4.1점]

④

① [eqn: 4]	② [eqn: 5]	③ [eqn: 6]

④ [eqn: 7]	⑤ [eqn: 8]

등비급수 [eqn: sum_n=1^inf a_n = 1over2], [eqn: sum_n=1^inf a_n^2 = 3over4]일 때, [eqn: sum_n=1^inf a_n^3]의 값은? [4.2점]

②

① [eqn: 1over8]	② [eqn: 3over8]	③ [eqn: 2over3]

④ [eqn: 3over4]	⑤ [eqn: 6over7]

다항함수 [eqn: f(x)]에 대하여 [eqn: lim_x->inf {f(x) -x^3 } over {x^2} =1], [eqn: lim_x->0 f(x) over x =3]일 때, [eqn: f(1)]의 값은? [4.3점]

④

① [eqn: 2]	② [eqn: 3]	③ [eqn: 4]

④ [eqn: 5]	⑤ [eqn: 6]

함수 [eqn: f(x) = lim_n->inf {ax^n+1 +x+1} over {x^a +1}]이 [eqn: x=1]에서 연속일 때, 상수 [eqn: a]의 값은? [4.4점]

①

① [eqn: 2]	② [eqn: 5over2]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 7over2]	⑤ [eqn: 4]

다항함수 [eqn: f(x)]에 대하여 [eqn: lim_x->0+ left{ x^2 f left( 1overx right) right} =1], [eqn: lim_x->1 f(x) over{x-1}=3]일 때, [eqn: f(3)]의 값은? [4.5점]

③

① [eqn: 6]	② [eqn: 8]	③ [eqn: 10]

④ [eqn: 12]	⑤ [eqn: 14]

다항함수 [eqn: f(x)]에 대하여 [eqn: f(-3) =a+2], [eqn: f(1)=a-5]이다. 방정식 [eqn: f(x)=1]이 중근이 아닌 오직 하나의 실근을 가질 때, 이 실근이 열린구간 [eqn: (-3,```1)]에 존재하도록 하는 실수 [eqn: a`]의 범위를 [eqn: alpha <a< beta]라고 할 때, [eqn: alpha+beta]의 값은? [4.5점]

⑤

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

그림은 함수 [eqn: y=1]과 함수 [eqn: y=0]의 그래프의 일부이다. 두 점
[eqn: {rmA}(-1,```0)], [eqn: {rmB}(0,```1)] 사이를 [eqn: -1 le x le 0]에서 정의된 함수
[eqn: y=ax^3 +bx^2 +cx +d]
의 그래프를 이용하여 연결하였다. 이렇게 연결된 그래프 전체를 나타내는 함수가 구간 [eqn: (-inf,```inf)]에서 미분가능하도록 상수 [eqn: a], [eqn: b], [eqn: c], [eqn: d]의 값을 정할 때, [eqn: a^2 +b^2 +c^2 +d^2]의 값은? [4.6점]

⑤

① [eqn: 6]	② [eqn: 8]	③ [eqn: 10]

④ [eqn: 12]	⑤ [eqn: 14]

그림과 같이 다항함수 [eqn: y=f(x)]의 그래프는 점 [eqn: (2,```-2)]에서 원점을 지나는 직선에 접한다. [eqn: g(x) =left{f(x) right}^2]일 때, [eqn: g`'(2)]의 값은? [4.6점]

①

① [eqn: 4]	② [eqn: 9over2]	③ [eqn: 5]

④ [eqn: 11over2]	⑤ [eqn: 6]

[eqn: lim_x->2 {x^n+1 -2^n+1 } over{x^n-1 - 2^n-1} =6]을 만족시키는 자연수 [eqn: n]의 값은? [4.7점]

④

① [eqn: 2]	② [eqn: 3]	③ [eqn: 4]

④ [eqn: 5]	⑤ [eqn: 6]

서술형

급수 [eqn: sum_n=1^inf 1 over{ sqrt { n+2}+ sqrt { n+1}}]의 수렴, 발산을 조사하고, 풀이과정을 서술하시오. [7.0점]

발산

함수 [eqn: f(x)=x^2 -x+1]에 대하여 [eqn: lim _{n -> INF } {} n LEFT { f LEFT ( 1+ {1} over {n} RIGHT ) -f LEFT ( 1- {2} over {n} RIGHT ) RIGHT }]의 값을 구하고, 풀이과정을 서술하시오. (단, 미분계수의 정의, [eqn: f`'(a)=lim_h->0 {f(a+h) -f(a)} overh]를 이용하시오.)

[eqn: 3]

최고차항의 계수가 [eqn: 1]인 삼차함수 [eqn: f(x)]와 실수 [eqn: a]에 대하여 [eqn: f(a)=f(2)=f(3)], [eqn: lim_x->2 {f(x)-3} over x-2 =5]가 성립할 때, [eqn: a]의 값을 구하고, 풀이과정을 서술하시오. [8.0점]

[eqn: 7]

그림과 같이 한 변의 길이가 [eqn: 9]인 정삼각형 [eqn: {rmA}_1{rmB}_1{rmC}_1]의 무게중심 [eqn: {rmA}_2]를 지나며 두 변 [eqn: {rmA}_1{rmB}_1], [eqn: {rmA}_1{rmC}_1]에 접하는 원의 넓이를 [eqn: S_1]이라 하자. 점 [eqn: {rmA}_2]를 꼭짓점으로 하고 변 [eqn: {rmB}_1{rmC}_1]에 두 점 [eqn: {rmB}_2], [eqn: {rmC}_2]를 삼각형 [eqn: {rmA}_2{rmB}_2{rmC}_2]가 정삼각형이 되도록 잡은 후 정삼각형 [eqn: {rmA}_2{rmB}_2{rmC}_2]의 무게중심 [eqn: {rmA}_3]을 지나며 두 변 [eqn: {rmA}_2{rmB}_2], [eqn: {rmA}_2{rmC}_2]에 접하는 원의 넓이를 [eqn: S_2]라 하자. 이와 같은 방법으로 계속해서 [eqn: n]번째 얻은 원의 넓이를 [eqn: S_n]이라 할 때, 다음 물음에 답하시오. [총8.0점]

(1) [eqn: 3pi]

(2) [eqn: 3:1]

(3) [eqn: { 27} over { 8}pi]

(1) [eqn: S_1]을 구하고, 풀이과정을 서술하시오. [3.0점]

(2) 정삼각형 [eqn: {rmA}_1{rmB}_1{rmC}_1]과 정삼각형 [eqn: {rmA}_2{rmB}_2{rmC}_2]의 닯음비를 구하고,
풀이과정을 서술하시오. [3.0점]

(3) [eqn: sum_n=1^inf S_n]의 값을 구하고, 풀이과정을 서술하시오. [2.0점]

[2017년 가좌고]

[2학년 1학기 중간 미적분1]

오타, 오류, 문의사항 : hansungeun@gmail.com